三角比

三角比の相互関係

【単元の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明 • 三角比　• 正弦定理,余弦定理

【単元内の目次】 • 三角比　 • 三角形の辺の長さ　 • 鈍角の三角比　 • 三角比の相互関係　 • 三角方程式　 • 三角不等式
　 • sinθ+cosθ, sinθcosθの値　 • 三角方程式（2次）　 • 三角不等式（2次）

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，三角比の相互関係のマイナーチェンジありのカバー版です．
♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

■三角比の相互関係

《解説》

○　高校数学Ｉで登場する「三角比の相互関係」とは，次の２つの公式のことです．
$\sin^2 A+\cos^2 A=1$ …(1)

$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$ …(2)

　三角比sinA , cosA , tanAのうち１つ分かれば，残りはこれらの公式を使って「芋づる式に」求まります．

○　例えば，sinAが分かれば(1)を使ってcosAが求まり，さらに(2)を使ってtanAが求まります．

　しかし，例えばtanA = $\frac{3}{4}$ のように，三角比のうちでtanAだけが与えられて残りのsinA , cosAを求めるときは要注意です．
　(2)からsinA=3 , cosA=4などと間違う生徒が多いからです．（−1≦sinA , cosA≦1を満たしていないので，間違いに気づくはずです．比だけが与えられているのだから，3/2：4/2 あるいは3/5：4/5などの可能性も考えなければなりません．）

　このように，tanA ⇒ cosA（またはsinA）の関係式が必要なときは，(1)の両辺をcos2A（またはsin2A）で割って次の公式(3)(4)を「その場で作ればよい」．（「公式」を覚えるのでなく，必要になったときに作るようにします･･･「公式がある」ということだけを覚えておく…覚えなければならない公式の数を減らして，公式間の関連をつかむようにする）

tan2A+1 = $\frac{1}{\cos^2 A}$ …(3)

1+ $\frac{1}{\tan^2 A}$ = $\frac{1}{\sin^2 A}$ …(4)

例1

sinA = $\frac{1}{3}$ (0°≦A≦180°)のときcosAの値を求めてください．

（答案）

sin2A+cos2A=1にsinA = $\frac{1}{3}$ を代入すると

( $\frac{1}{3}$ )2+cos2A=1

cos2A=1− $\frac{1}{9}$ = $\frac{8}{9}$

cosA= $\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$

　右図のようにsinA = $\frac{1}{3}$ のとき，Aは第1象限の場合も第2象限の場合もあり，これに対応するcosAの値は，第1象限なら正，第2象限なら負の値になる．（どちらも可能）

　ゆえに，cosA= $\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$ …（答）

注意
右図のように直角三角形を描いて，三平方の定理を使って横の長さxを求めても答は得られるが，この解き方は「三平方の定理」の練習にはなるが三角比の相互関係の練習にはならない．
　三角形を描く方法ばかりを練習していると，例えば(sinA+cosA)2などの変形ができないおそれがあるので，あまり薦められない．

例2

cosA = $\frac{1}{3}$ (0°≦A≦180°)のときtanAの値を求めてください．

（答案）

sin2A+cos2A=1にcosA = $\frac{1}{3}$ を代入すると

sin2A+( $\frac{1}{3}$ )2=1

sin2A=1− $\frac{1}{9}$ = $\frac{8}{9}$

sinA=± $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

　右図のようにcosA = $\frac{1}{3}$ のとき，Aは第1象限の角で，これに対応するsinAの値は正の数になる．

　ゆえに，sinA= $\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$

　このとき，tanA= $\frac{\sin A}{\cos A}$ = $\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=2\sqrt{2}$ …（答）

（別解）
この答案では公式(1)を使ってcosA → sinA
公式(2)を使ってsinA , cosA → tanA
のように2段階で求めたが，公式(3)を使って，cosA → tanAのように直接求めることもできる．

例3

tanA = − $\frac{\sqrt{5}}{2}$ (0°≦A≦180°)のときcosAの値を求めてください．

■注意■
tanA = $\frac{\sin A}{\cos A}$ だからといって

cosA = − 2 , sinA = $\sqrt{5}$ などと考えていれば，大きな間違いです．

比率が− $\frac{\sqrt{5}}{2}$ になるものには，

$-\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\frac{2}{2}},\hspace{3}-\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}},\hspace{3}-\frac{\frac{\sqrt{5}}{4}}{\frac{2}{4}},\hspace{3}\cdots$ など多くの分母・分子の
組合せがあります．
実際には，これらのうちでsin2A+cos2A=1を満たすものだけが答になりますが，その値は公式(3)で求まります．

（答案）
公式(1)の両辺をcos2Aで割って，公式(3)を作る．