• sinθ+cosθ, sinθcosθの値 • 三角方程式(2次) • 三角不等式(2次) ♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに,こちらを使ってください.なお,学習の記録は付いていません. |
■解説
(解説) 2つの変数 x , y があるときに,それらの和 x+y の値が与えられても,それらの積 xy の値は決まらないし,逆にそれらの積 xy の値が与えられても,それらの和 x+y の値も決まらない. しかし,sinθ , cosθ の値は,sin2θ+cos2θ=1 の関係式で結ばれており,この関係を利用すると, sinθ+cosθ の値 → sinθ cosθ の値 逆に, sinθ cosθ の値 → (符号は別)sinθ+cosθ の値 が求められる.(※右の例で確かめよ.) ○ 一般に,sinθ+cosθ の値を t とおくと, sin2θ+2sinθ cosθ+cos2θ=t2 ここで,sin2θ+cos2θ=1 だから 1+2sinθ cosθ=t2 sinθ cosθ= となる. ○ 応用問題として,sin3θ+cos3θ =(sinθ+cosθ)(sin2θ−sinθ cosθ+cos2θ) =(sinθ+cosθ)(1−sinθ cosθ)=t(1−) ![]() の変形を利用する問題もよく出題される. |
例1 sinθ+cosθ= のとき,sinθ cosθ の値は次のようにして求められる. sinθ+cosθ= の両辺を2乗すると ![]() sin2θ+2sinθ cosθ+cos2θ= sin2θ+cos2θ=1 だから ![]() 1+2sinθ cosθ= ![]() 2sinθ cosθ=− ![]() sinθ cosθ=− …(答) 例2 sinθ cosθ= のとき,sinθ+cosθ の値は次のようにして求められる. sinθ+cosθ=t とおくと t2=sin2θ+2sinθ cosθ+cos2θ=1+2·=2 t=± …(答) (2乗して求めているので符号は決まらない) ※実際, ア) θ=45°のときは sinθ=cosθ= sinθ cosθ=,sinθ+cosθ= イ) θ=225°のときは sinθ=cosθ= sinθ cosθ=,sinθ+cosθ=− となり,いずれの値も取り得る. |
■sinθ+cosθ ⇔ sinθ cosθ 問題 次の空欄を「半角数字(1バイト文字)で」埋めて,採点ボタンを押すと,採点結果と解説が読めます.採点しなければ,解説は出ません. 採点する 解説を読む |
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sin2θ+2sinθ cosθ+cos2θ =
1+2sinθ cosθ= sinθ cosθ=− 次に sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ−sinθ cosθ+cos2θ) = |
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cos2θ−2cosθ sinθ+sin2θ =
1−2cosθ sinθ= cosθ sinθ= 次に cos3θ−sin3θ=(cosθ−sinθ)(cos2θ+cosθ sinθ+sin2θ) = |
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sinθ−cosθ=t とおくと,
sin2θ−cos2θ=(sinθ+cosθ)(sinθ−cosθ)= sin2θ+cos2θ+2sinθ cosθ= sinθ cosθ=− 次に,t2=sin2θ+cos2θ−2sinθ cosθ=1−2 ·(− t= sin2θ−cos2θ= |
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