三角比

【単元の目次】 《数学Ⅰ・Ａ》 • 数と式　 • 根号計算 　• 場合の数.順列.組合せ 　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明 • 三角比 　• 正弦定理,余弦定理 【単元内の目次】 • 三角比 　 • 三角形の辺の長さ 　 • 鈍角の三角比 　 • 三角比の相互関係 　 • 三角方程式 　 • 三角不等式 　 • sinθ+cosθ, sinθcosθの値 　 • 三角方程式（2次） 　 • 三角不等式（2次） ♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，sinθ+cosθ, sinθcosθの値のマイナーチェンジありのカバー版です． ♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

■解説 【 要点 】 （解説） 　　２つの変数 x , y があるときに，それらの和 x+y の値が与えられても，それらの積 xy の値は決まらないし，逆にそれらの積 xy の値が与えられても，それらの和 x+y の値も決まらない． 　しかし，sinθ , cosθ の値は，sin2θ+cos2θ=1 の関係式で結ばれており，この関係を利用すると， _____sinθ+cosθ の値 → sinθ cosθ の値 逆に， _____sinθ cosθ の値 → （符号は別）sinθ+cosθ の値 が求められる．（※右の例で確かめよ．） ○　一般に，sinθ+cosθ の値を t とおくと， ______sin2θ+2sinθ cosθ+cos2θ=t2 　ここで，sin2θ+cos2θ=1 だから ______1+2sinθ cosθ=t2 ______sinθ cosθ= となる． ○　応用問題として，sin3θ+cos3θ =(sinθ+cosθ)(sin2θ−sinθ cosθ+cos2θ) =(sinθ+cosθ)(1−sinθ cosθ)=t(1−) の変形を利用する問題もよく出題される．

例１ 　sinθ+cosθ= のとき，sinθ cosθ の値は次のようにして求められる． sinθ+cosθ= の両辺を２乗すると ______sin2θ+2sinθ cosθ+cos2θ= sin2θ+cos2θ=1 だから ______1+2sinθ cosθ= ______2sinθ cosθ=− ______sinθ cosθ=− …（答） 例２ 　sinθ cosθ= のとき，sinθ+cosθ の値は次のようにして求められる． ______sinθ+cosθ=t とおくと ______t2=sin2θ+2sinθ cosθ+cos2θ=1+2·=2 ______t=± …（答） （２乗して求めているので符号は決まらない） ※実際， ア） θ=45°のときは sinθ=cosθ= だから， sinθ cosθ=，sinθ+cosθ= イ） θ=225°のときは sinθ=cosθ= だから， sinθ cosθ=，sinθ+cosθ=− となり，いずれの値も取り得る．

■sinθ+cosθ ⇔ sinθ cosθ 問題 　次の空欄を「半角数字（1バイト文字）で」埋めて，採点ボタンを押すと，採点結果と解説が読めます．採点しなければ，解説は出ません． (1) sinθ+cosθ =のとき，sinθcosθの値を求めよ． sinθcosθ=− 採点する 解説を読む sinθ+cosθ = の両辺を2乗する sin2θ+2sinθ cosθ+cos2θ = 1+2sinθ cosθ= 2sinθ cosθ= sinθ cosθ= →解説を隠す←

(2) sinθ cosθ =のとき，sinθ+cosθの値を求めよ． sinθcosθ=± 　 採点する 解説を読む sinθ+cosθ =t とおく sin2θ+2sinθ cosθ+cos2θ =t2 1+2·=t2 t2= t=± →解説を隠す←

(3) sinθ+cosθ =のとき，sin3θ+cos3θ の値を求めよ． sin3θ+cos3θ= 採点する 解説を読む sin2θ+2sinθ cosθ+cos2θ = より 1+2sinθ cosθ= sinθ cosθ=− 次に sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ−sinθ cosθ+cos2θ) =·(1+)= →解説を隠す←

(4) sinθ−cosθ=のとき，sinθcosθの値を求めよ． sinθcosθ= 採点する 解説を読む sin2θ−2sinθ cosθ+cos2θ = より 1−2sinθ cosθ= sinθ cosθ= →解説を隠す←

(5) cosθ−sinθ=のとき，cos3θ−sin3θの値を求めよ． sin3θ−cos3θ= 採点する 解説を読む cos2θ−2cosθ sinθ+sin2θ = より 1−2cosθ sinθ= cosθ sinθ= 次に cos3θ−sin3θ=(cosθ−sinθ)(cos2θ+cosθ sinθ+sin2θ) =·= →解説を隠す←

(6) sinθ+cosθ=のとき，の値を求めよ． = 採点する 解説を読む sin2θ+2sinθ cosθ+cos2θ =より 1+2sinθ cosθ= sinθ cosθ=− 次に， →解説を隠す←

(7) sinθ+cosθ=のとき，の値を求めよ． =− 採点する 解説を読む sin2θ+2sinθ cosθ+cos2θ = より 1+2sinθ cosθ= sinθ cosθ=− 次に， →解説を隠す←

(8) sinθ+cosθ= のとき，sin2θ−cos2θ の値を求めよ． sin2θ−cos2θ=± 採点する 解説を読む sinθ−cosθ=t とおくと， sin2θ−cos2θ=(sinθ+cosθ)(sinθ−cosθ)= と書けるから，t を求めればよい． sin2θ+cos2θ+2sinθ cosθ= より sinθ cosθ=− 次に，t2=sin2θ+cos2θ−2sinθ cosθ=1−2 ·(− )= t= sin2θ−cos2θ= →解説を隠す←