三角比

【単元の目次】 《数学Ⅰ・Ａ》 • 数と式　 • 根号計算 　• 場合の数.順列.組合せ 　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明 • 三角比 　• 正弦定理,余弦定理 【単元内の目次】 • 三角比 　 • 三角形の辺の長さ 　 • 鈍角の三角比 　 • 三角比の相互関係 　 • 三角方程式 　 • 三角不等式 　 • sinθ+cosθ, sinθcosθの値 　 • 三角方程式（2次） 　 • 三角不等式（2次） ♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，鈍角の三角比のマイナーチェンジありのカバー版です． ♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

==鈍角の三角比== ■解説 　　印刷物になっている三角関数表は 0°～90°の値のみ書かれており， sin118°のような値は書かれていない． 　右図から次の公式が導かれ，これを利用すれば，90°～180°の三角関数の値を，0°～90°の三角関数に直して求めることができる． 公式(1) sin(180°−θ)=sinθ cos(180°−θ)= −cosθ tan(180°−θ)= −tanθ
例 sin 118°=sin(180°−62°) =sin 62°=(表より)=0.8829 cos 118°= cos(180°−62°) = −cos 62°=(表より)= −0.4695 tan 118°= tan(180°−62°) = −tan 62°=(表より)= −1.8807
右図のように y 軸から測った場合は，次の公式になる．縦横が逆になるため，sinθ，cosθが入れ替わる．tanθは分母分子が入れ替わる． 公式(2) sin(90°+θ)=cosθ cos(90°+θ)= −sinθ tan(90°+θ)= −
例 sin 118°=sin(90°+28°) =cos 28°=(表より)=0.8829 cos 118°= cos(90°+28°) = −sin 28°=(表より)= −0.4695 tan 118°= tan(90°+28°) = −=(表より)= −1.8807
※　上の公式(1)(2)は，0°≦θ≦90°の場合の説明に用いているが，実際にはθの値に制限なく成り立つ． すなわち，次のような関係は任意の角度θについて成り立つ： cos (180°−θ)+cosθ=0
【要点】 　sin 118°などの数値を求めるには，sinθ，cosθなどの形が変わらず符号のみを考えればよい公式(1)を用いる方が楽． 　文字式の変形で公式(2)が登場するときは，sinθ，cosθ，tanθなどの形の変化に注意．

【例1】 　右の三角比の表を使って，次の三角比の値を求めてください． 　　sin100° （答案） 　　sin(180°−θ)=sinθ により 　　sin100°=sin(180°−80°)=sin80° 三角比の表から sin80°=0.9848･･･（答） （別解） 　　sin(90°+θ)=cosθ により 　　sin(90°+10°)=cos10° 三角比の表から 　　cos10°=0.9848･･･（答） 【問1】 　右の三角比の表を使って，次の三角比の値を求めてください． 半角数字（1バイト文字のアラビア数字）で埋めてください． 　　sin172°= 採点する 解説を見る やり直す sin172°=sin(180°−8°)=sin8°=0.1392 （別解） sin172°=sin(180°−172°)=sin8°=0.1392 やり直す 【例2】 　右の三角比の表を使って，次の三角比の値を求めてください． 　　cos123° （答案） 　　cos(180°−θ)=−cosθ により 　　cos123°=cos(180°−57°)=−cos57° 三角比の表から 　　−0.5446･･･（答） 【問2】 　右の三角比の表を使って，次の三角比の値を求めてください． 半角数字（1バイト文字のアラビア数字）で埋めてください． 　　cos156°= 採点する 解説を見る やり直す cos156°=cos(180°−24°)=−cos24°=−0.9135 やり直す

-- 三角比の表（小数第4位までの近似値） -- A sin A cos A tan A 0° 0.0000 1.0000 0.0000 1° 0.0175 0.9998 0.0175 2° 0.0349 0.9994 0.0349 3° 0.0523 0.9986 0.0524 4° 0.0698 0.9976 0.0699 5° 0.0872 0.9962 0.0875 6° 0.1045 0.9945 0.1051 7° 0.1219 0.9925 0.1228 8° 0.1392 0.9903 0.1405 9° 0.1564 0.9877 0.1584 10° 0.1736 0.9848 0.1763 11° 0.1908 0.9816 0.1944 12° 0.2079 0.9781 0.2126 13° 0.2250 0.9744 0.2309 14° 0.2419 0.9703 0.2493 15° 0.2588 0.9659 0.2679 16° 0.2756 0.9613 0.2867 17° 0.2924 0.9563 0.3057 18° 0.3090 0.9511 0.3249 19° 0.3256 0.9455 0.3443 20° 0.3420 0.9397 0.3640 21° 0.3584 0.9336 0.3839 22° 0.3746 0.9272 0.4040 A sin A cos A tan A 23° 0.3907 0.9205 0.4245 24° 0.4067 0.9135 0.4452 25° 0.4226 0.9063 0.4663 26° 0.4384 0.8988 0.4877 27° 0.4540 0.8910 0.5095 28° 0.4695 0.8829 0.5317 29° 0.4848 0.8746 0.5543 30° 0.5000 0.8660 0.5774 31° 0.5150 0.8572 0.6009 32° 0.5299 0.8480 0.6249 33° 0.5446 0.8387 0.6494 34° 0.5592 0.8290 0.6745 35° 0.5736 0.8192 0.7002 36° 0.5878 0.8090 0.7265 37° 0.6018 0.7986 0.7536 38° 0.6157 0.7880 0.7813 39° 0.6293 0.7771 0.8098 40° 0.6428 0.7660 0.8391 41° 0.6561 0.7547 0.8693 42° 0.6691 0.7431 0.9004 43° 0.6820 0.7314 0.9325 44° 0.6947 0.7193 0.9657 45° 0.7071 0.7071 1.0000 A sin A cos A tan A 46° 0.7193 0.6947 1.0355 47° 0.7314 0.6820 1.0724 48° 0.7431 0.6691 1.1106 49° 0.7547 0.6561 1.1504 50° 0.7660 0.6428 1.1918 51° 0.7771 0.6293 1.2349 52° 0.7880 0.6157 1.2799 53° 0.7986 0.6018 1.3270 54° 0.8090 0.5878 1.3764 55° 0.8192 0.5736 1.4281 56° 0.8290 0.5592 1.4826 57° 0.8387 0.5446 1.5399 58° 0.8480 0.5299 1.6003 59° 0.8572 0.5150 1.6643 60° 0.8660 0.5000 1.7321 61° 0.8746 0.4848 1.8040 62° 0.8829 0.4695 1.8807 63° 0.8910 0.4540 1.9626 64° 0.8988 0.4384 2.0503 65° 0.9063 0.4226 2.1445 66° 0.9135 0.4067 2.2460 67° 0.9205 0.3907 2.3559 68° 0.9272 0.3746 2.4751 A sin A cos A tan A 69° 0.9336 0.3584 2.6051 70° 0.9397 0.3420 2.7475 71° 0.9455 0.3256 2.9042 72° 0.9511 0.3090 3.0777 73° 0.9563 0.2924 3.2709 74° 0.9613 0.2756 3.4874 75° 0.9659 0.2588 3.7321 76° 0.9703 0.2419 4.0108 77° 0.9744 0.2250 4.3315 78° 0.9781 0.2079 4.7046 79° 0.9816 0.1908 5.1446 80° 0.9848 0.1736 5.6713 81° 0.9877 0.1564 6.3138 82° 0.9903 0.1392 7.1154 83° 0.9925 0.1219 8.1443 84° 0.9945 0.1045 9.5144 85° 0.9962 0.0872 11.4301 86° 0.9976 0.0698 14.3007 87° 0.9986 0.0523 19.0811 88° 0.9994 0.0349 28.6363 89° 0.9998 0.0175 57.2900 90° 1.0000 0.0000 なし

【問3】 　次の三角比の値と等しいものを下欄の選択肢から選んでください． 選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません． (1) 　　　　sin132° sin48° cos48° tan48° −sin48° −cos48° −tan48° 解説を見る やり直す sin132°=sin(180°−48°)=sin48° →閉じる←

(2) 　　　　cos132° sin48° cos48° tan48° −sin48° −cos48° −tan48° 解説を見る やり直す cos132°=cos(180°−48°)=−cos48° →閉じる←

公式のまとめ 公式(1)･･･180°−θの三角比 sin(180°−θ)=sinθ cos(180°−θ)= −cosθ tan(180°−θ)= −tanθ 公式(2)･･･90°+θの三角比 sin(90°+θ)=cosθ cos(90°+θ)= −sinθ tan(90°+θ)= −

公式(1)(2)の他，次の公式を用いれば，45°以上の三角比を45°以下の三角比で表すことができる． 公式(3)･･･90°−θの三角比 sin(90°−θ)=cosθ cos(90°−θ)= sinθ tan(90°−θ)= 右図の三角形で sin(90°−θ)= •• ▲ =cosθ cos(90°−θ)= ■ ▲ =sinθ tan(90°−θ)= •• ■

【問4】 次の三角比の値を45°以下の三角比で表し，下欄の選択肢から選んでください． 選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません． (1) 　　　　sin123° sin33° cos33° −sin33° −cos33° 解説を見る やり直す sin123°=sin(180°−57°)=sin57° =sin(90°−33°)=cos33° →閉じる←

(2) 　　　　cos132° sin42° cos42° −sin42° −cos42° 解説を見る やり直す cos132°=cos(180°−48°)=−cos48° =−cos(90°−42°)=−sin42° →閉じる←

(3) 　　　　tan81° tan9° −tan9° 解説を見る やり直す tan81°=tan(90°−9°)= →閉じる←

(4) 　　　　tan136° tan44° −tan44° 解説を見る やり直す tan136°=tan(180°−44°)=−tan44° →閉じる←

(5) 　　　　sin147° sin33° cos33° −sin33° −cos33° 解説を見る やり直す sin147°=sin(180°−33°)=sin33° →閉じる←

(6) 　　　　cos100° sin10° cos10° −sin10° −cos10° 解説を見る やり直す cos100°=cos(180°−80°)=−cos80° =−cos(90°−10°)=−sin10° →閉じる←