数2/三角関数II
【単元の目次】
《数学Ⅰ・A》
数と式  • 根号計算  • 場合の数.順列.組合せ  • 確率  • 2次関数 • 2次不等式  • 集合・命題・条件・証明三角比  • 正弦定理,余弦定理
♪♥ この教材は,高校数学の基本問題のうち,鈍角の三角比のマイナーチェンジありのカバー版です.
♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに,こちらを使ってください.なお,学習の記録は付いていません.
==鈍角の三角比==
■解説
  印刷物になっている三角関数表は 0°~90°の値のみ書かれており, sin118°のような値は書かれていない.

 右図から次の公式が導かれ,これを利用すれば,90°~180°の三角関数の値を,0°~90°の三角関数に直して求めることができる.
公式(1)
sin(180°θ)=sinθ
cos(180°θ)= −cosθ
tan(180°θ)= −tanθ

sin 118°=sin(180°−62°) =sin 62°=(表より)=0.8829
cos 118°= cos(180°−62°) = −cos 62°=(表より)= −0.4695
tan 118°= tan(180°−62°) = −tan 62°=(表より)= −1.8807
 右図のように y 軸から測った場合は,次の公式になる.縦横が逆になるため,sinθ,cosθが入れ替わる.tanθは分母分子が入れ替わる.
公式(2)
sin(90°+θ)=cosθ
cos(90°+θ)= −sinθ
tan(90°+θ)= −

sin 118°=sin(90°+28°) =cos 28°=(表より)=0.8829
cos 118°= cos(90°+28°) = −sin 28°=(表より)= −0.4695
tan 118°= tan(90°+28°) = −=(表より)= −1.8807
※ 上の公式(1)(2)は,0°≦θ≦90°の場合の説明に用いているが,実際にはθの値に制限なく成り立つ.
すなわち,次のような関係は任意の角度θについて成り立つ
cos (180°θ)+cosθ=0
【要点】
 sin 118°などの数値を求めるには,sinθ,cosθなどの形が変わらず符号のみを考えればよい公式(1)を用いる方が楽.
 文字式の変形で公式(2)が登場するときは,sinθ,cosθ,tanθなどの形の変化に注意.
【例1】
 右の三角比の表を使って,次の三角比の値を求めてください.
  sin100°
(答案)
  sin(180°−θ)=sinθ
により
  sin100°=sin(180°−80°)=sin80°
三角比の表から
sin80°=0.9848・・・(答)
(別解)
  sin(90°+θ)=cosθ
により
  sin(90°+10°)=cos10°
三角比の表から
  cos10°=0.9848・・・(答)
【問1】
 右の三角比の表を使って,次の三角比の値を求めてください.
半角数字(1バイト文字のアラビア数字)で埋めてください.
  sin172°=
採点する
【例2】
 右の三角比の表を使って,次の三角比の値を求めてください.
  cos123°
(答案)
  cos(180°−θ)=−cosθ
により
  cos123°=cos(180°−57°)=−cos57°
三角比の表から
  −0.5446・・・(答)
【問2】
 右の三角比の表を使って,次の三角比の値を求めてください.
半角数字(1バイト文字のアラビア数字)で埋めてください.
  cos156°=
採点する
-- 三角比の表(小数第4位までの近似値) --
Asin Acos Atan A
0.0000 1.0000 0.0000
0.0175 0.9998 0.0175
0.0349 0.9994 0.0349
0.0523 0.9986 0.0524
0.0698 0.9976 0.0699
0.0872 0.9962 0.0875
0.1045 0.9945 0.1051
0.1219 0.9925 0.1228
0.1392 0.9903 0.1405
0.1564 0.9877 0.1584
10°0.1736 0.9848 0.1763
11°0.1908 0.9816 0.1944
12°0.2079 0.9781 0.2126
13°0.2250 0.9744 0.2309
14°0.2419 0.9703 0.2493
15°0.2588 0.9659 0.2679
16°0.2756 0.9613 0.2867
17°0.2924 0.9563 0.3057
18°0.3090 0.9511 0.3249
19°0.3256 0.9455 0.3443
20°0.3420 0.9397 0.3640
21°0.3584 0.9336 0.3839
22°0.3746 0.9272 0.4040
Asin Acos Atan A
23°0.3907 0.9205 0.4245
24°0.4067 0.9135 0.4452
25°0.4226 0.9063 0.4663
26°0.4384 0.8988 0.4877
27°0.4540 0.8910 0.5095
28°0.4695 0.8829 0.5317
29°0.4848 0.8746 0.5543
30°0.5000 0.8660 0.5774
31°0.5150 0.8572 0.6009
32°0.5299 0.8480 0.6249
33°0.5446 0.8387 0.6494
34°0.5592 0.8290 0.6745
35°0.5736 0.8192 0.7002
36°0.5878 0.8090 0.7265
37°0.6018 0.7986 0.7536
38°0.6157 0.7880 0.7813
39°0.6293 0.7771 0.8098
40°0.6428 0.7660 0.8391
41°0.6561 0.7547 0.8693
42°0.6691 0.7431 0.9004
43°0.6820 0.7314 0.9325
44°0.6947 0.7193 0.9657
45°0.7071 0.7071 1.0000

Asin A cos Atan A
46°0.7193 0.6947 1.0355
47°0.7314 0.6820 1.0724
48°0.7431 0.6691 1.1106
49°0.7547 0.6561 1.1504
50°0.7660 0.6428 1.1918
51°0.7771 0.6293 1.2349
52°0.7880 0.6157 1.2799
53°0.7986 0.6018 1.3270
54°0.8090 0.5878 1.3764
55°0.8192 0.5736 1.4281
56°0.8290 0.5592 1.4826
57°0.8387 0.5446 1.5399
58°0.8480 0.5299 1.6003
59°0.8572 0.5150 1.6643
60°0.8660 0.5000 1.7321
61°0.8746 0.4848 1.8040
62°0.8829 0.4695 1.8807
63°0.8910 0.4540 1.9626
64°0.8988 0.4384 2.0503
65°0.9063 0.4226 2.1445
66°0.9135 0.4067 2.2460
67°0.9205 0.3907 2.3559
68°0.9272 0.3746 2.4751
Asin Acos Atan A
69°0.9336 0.3584 2.6051
70°0.9397 0.3420 2.7475
71°0.9455 0.3256 2.9042
72°0.9511 0.3090 3.0777
73°0.9563 0.2924 3.2709
74°0.9613 0.2756 3.4874
75°0.9659 0.2588 3.7321
76°0.9703 0.2419 4.0108
77°0.9744 0.2250 4.3315
78°0.9781 0.2079 4.7046
79°0.9816 0.1908 5.1446
80°0.9848 0.1736 5.6713
81°0.9877 0.1564 6.3138
82°0.9903 0.1392 7.1154
83°0.9925 0.1219 8.1443
84°0.9945 0.1045 9.5144
85°0.9962 0.0872 11.4301
86°0.9976 0.0698 14.3007
87°0.9986 0.0523 19.0811
88°0.9994 0.0349 28.6363
89°0.9998 0.0175 57.2900
90°1.0000 0.0000 なし

【問3】
 次の三角比の値と等しいものを下欄の選択肢から選んでください.
選択肢をクリックすれば,採点結果と解説が出ます.見ているだけでは解説は出ません.
(1)
    sin132°
(2)
    cos132°
公式のまとめ
公式(1)・・・180°−θの三角比
sin(180°θ)=sinθ
cos(180°θ)= −cosθ
tan(180°θ)= −tanθ

公式(2)・・・90°+θの三角比
sin(90°+θ)=cosθ
cos(90°+θ)= −sinθ
tan(90°+θ)= −
公式(1)(2)の他,次の公式を用いれば,45°以上の三角比を45°以下の三角比で表すことができる.
公式(3)・・・90°−θの三角比
sin(90°−θ)=cosθ
cos(90°−θ)= sinθ
tan(90°−θ)=
右図の三角形で
sin(90°−θ)=
••

=cosθ
cos(90°−θ)=

=sinθ
tan(90°−θ)=
••

【問4】
次の三角比の値を45°以下の三角比で表し,下欄の選択肢から選んでください.
選択肢をクリックすれば,採点結果と解説が出ます.見ているだけでは解説は出ません.
(1)
    sin123°
(2)
    cos132°
(3)
    tan81°
(4)
    tan136°
(5)
    sin147°
(6)
    cos100°

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