三角比

数I／基本的な三角比の値

【単元の目次】《数学Ⅰ・Ａ》
• 数と式　 • 根号計算　• 場合の数.順列.組合せ　• 確率　 • ２次関数　• ２次不等式　 • 集合・命題・条件・証明 • 三角比　• 正弦定理,余弦定理

【単元内の目次】 • 三角比　 • 三角形の辺の長さ　 • 鈍角の三角比　 • 三角比の相互関係　 • 三角方程式　 • 三角不等式
　 • sinθ+cosθ, sinθcosθの値　 • 三角方程式（2次）　 • 三角不等式（2次）

♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，三角比のマイナーチェンジありのカバー版です．
♫♣ 元の教材が通信トラブルなどで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません．

■基本的な三角比（図あり）■

≪解説≫
○　中学校で習ったように，相似図形については対応する辺の長さに「比」は等しいので，図のような直角三角形について

(1)黄色で示した上の２個の図については $\frac{y}{r}$ ， $\frac{x}{r}$ ， $\frac{y}{x}$ の「比」は等しくなります．

(2)同様にして，水色で示した下の２個の図についても $\frac{y}{r}$ ， $\frac{x}{r}$ ， $\frac{y}{x}$ の「比」は等しくなります．

(*)上２組と下２組とでは，角度θが違うので $\frac{y}{r}$ ， $\frac{x}{r}$ ， $\frac{y}{x}$ の「比」は等しくなりません．

○　このようにして，角度θを決めると $\frac{y}{r}$ ， $\frac{x}{r}$ ， $\frac{y}{x}$ の「比」は決まります．

○　角度θを決めると「直角三角形の辺の長さの比」は決まるので，これらの比は角度θの関数であると言えますが，
今までに習った１次関数3θ，２次関数θ2+3θ+4などでは表せないことが分かっています．そこで「直角三角形の辺の長さの比を表す新しい関数の記号」を作ります．

正弦と呼ばれ（対辺）÷（斜辺）で定義されるもの： $\sin\theta =\frac{y}{r}$
（「サイン・シータ　イコール　アール分のワイ」と読む）
余弦と呼ばれ（隣辺）÷（斜辺）で定義されるもの： $\cos\theta =\frac{x}{r}$
（「コサイン・シータ　イコール　アール分のエックス」と読む）
正接と呼ばれ（対辺）÷（隣辺）で定義されるもの： $\tan\theta =\frac{y}{x}$
（「タンジェント・シータ　イコール　エックス分のワイ」と読む）

※　角度が決まらないと直角三角形の辺の長さの比は決まりませんので，「サインsin」とか「コサインcos」というものはないことに注意してください．必ず角度も付けた形でsin θ, cos θ, tan θの形で使います．

【例】
　sin 30°, cos 45°, tan 60°

※　斜辺r，隣辺x，対辺yから作られる辺の長さの比は全部で６個ありますが，よく使われるのは上記の３個です．これらは確実に覚えてください．残り３個は理科系の高３以上で習います．

《問題１》　

　上の図を参考にして，問題文に書かれた三角比の値を下の選択肢から選びなさい．

　（選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません．）

(1)
　sin 30°

1 2 $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ $\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$

解答を見る

左図において、筆記体のエスの文字を描く
$\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$ ･･･（答） →解答を隠す←

(2)
　cos 30°

1 2 $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ $\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$

解答を見る

左図において，シーの文字を描く
$\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ･･･（答） →解答を隠す←

(3)
　tan 30°

1 2 $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ $\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$

解答を見る

左図において、筆記体のティーの文字を描く
$\tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ ･･･（答） →解答を隠す←

(4)
　sin 45°

1 2 $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ $\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$

解答を見る

左図において、筆記体のエスの文字を描く
$\sin 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ･･･（答） →解答を隠す←

(5)
　cos 45°

1 2 $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ $\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$

解答を見る

左図において，シーの文字を描く
$\cos 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ･･･（答） →解答を隠す←

(6)
　tan 45°

1 2 $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ $\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$

解答を見る

左図において、筆記体のティーの文字を描く
$\tan 45^{\circ}=1$ ･･･（答） →解答を隠す←

(7)
　sin 60°

1 2 $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ $\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$

解答を見る

左図において，顔を左に倒して筆記体のエスの（鏡）文字を描く
$\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ･･･（答） →解答を隠す←

(8)
　cos 60°

1 2 $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ $\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$

解答を見る

左図において，顔を左に倒してシーの（鏡）文字を描く
$\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$ ･･･（答） →解答を隠す←

(9)
　tan 60°

1 2 $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ $\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$

解答を見る

左図において，顔を左に倒して筆記体のティーの（鏡）文字を描く
$\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$ ･･･（答） →解答を隠す←

【問題２】　次の直角三角形について，指定された三角比の値を求めてください．（選択肢の中から正しいものをクリック）

(1)
$\sin C$

解説やり直す

$\frac{4}{3}$ $\frac{5}{4}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{4}{5}$

sin Cは，その頂点Cからスタートしてsを書く．
(考え方1)　斜辺（分母）→対辺（分子）

(考え方2)　サインはＳ $\sin C=\frac{3}{5}$ …（答）

→閉じる←

(2)
$\cos C$

解説やり直す

$\frac{5}{13}$ $\frac{12}{13}$ $\frac{12}{5}$ $\frac{5}{12}$

cos Cは，角Cを回り込む
(考え方1)　斜辺（分母）→隣辺（分子）

(考え方2)　コサインはC $\cos C=\frac{12}{13}$ …（答）

→閉じる←

(3)
$\tan A$

解説やり直す

$\frac{2}{\sqrt{7}}$ $\frac{\sqrt{7}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$

tan Aは，角Aから直角を回り込む
(考え方1)　隣辺（分母）→対辺（分子）

(考え方2)　タンジェントはt $\tan A=\frac{2}{\sqrt{3}}$ …（答）

→閉じる←

(4)
$\sin C$

解説やり直す

$\frac{1}{2}}$ $\frac{\sqrt{5}}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{5}}$ $\frac{2}{\sqrt{5}}$

sin Cは，その頂点Cからスタートしてsを書く．
(考え方1)　斜辺（分母）→対辺（分子）

(考え方2)　サインはＳ $\sin C=\frac{1}{\sqrt{5}}$ …（答）

→閉じる←

(5)
$\cos C$

解説やり直す

$\frac{2}{\sqrt{7}}}$ $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

cos Cは，角Cを回り込む
(考え方1)　斜辺（分母）→隣辺（分子）

(考え方2)　コサインはC $\cos C=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ …（答）

→閉じる←

(6)
$\tan B$

解説やり直す

$\frac{8}{17}$ $\frac{17}{8}}$ $\frac{8}{15}$ $\frac{15}{8}$

tan Bは，角Bから直角を回り込む
(考え方1)　隣辺（分母）→対辺（分子）

(考え方2)　タンジェントはt $\tan B=\frac{15}{8}$ …（答）

→閉じる←

(7)
$\sin A$

解説やり直す

$\frac{1}{\sqrt{10}}$ $\frac{\sqrt{10}}{3}}$ $\frac{3}{\sqrt{10}}$ $\frac{1}{\sqrt{10}}$

sin Aは，その頂点Aからスタートしてsを書く．
(考え方1)　斜辺（分母）→対辺（分子）

(考え方2)　サインはＳ $\sin A=\frac{3}{\sqrt{10}}$ …（答）

→閉じる←

(8)
$\cos B$

解説やり直す

$\frac{2}{3}$ $\frac{\sqrt{13}}{3}}$ $\frac{3}{\sqrt{13}}$ $\frac{2}{\sqrt{13}}$

cos Bは，角Bを回り込む
(考え方1)　斜辺（分母）→隣辺（分子）

(考え方2)　コサインはC $\cos B=\frac{3}{\sqrt{13}}$ …（答）

→閉じる←

(9)
$\tan B$

解説やり直す

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$

tan Bは，角Bから直角を回り込む
(考え方1)　隣辺（分母）→対辺（分子）

(考え方2)　タンジェントはt $\tan B=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$ …（答）

→閉じる←

(10)
$\sin A$

解説やり直す

$\frac{3}{\sqrt{5}}$ $\frac{2}{\sqrt{5}}$ $\frac{\sqrt{5}}{3}$ $\frac{2}{3}$

sin Aは，その頂点Aからスタートしてsを書く．
(考え方1)　斜辺（分母）→対辺（分子）

(考え方2)　サインはＳ $\sin A=\frac{\sqrt{5}}{3}$ …（答）

→閉じる←

＃危険な落とし穴に注意＃
　直角三角形の辺の長さの比は三角比になりますが，直角三角形でなければ，辺の長さの比が三角比になるとは限りません．
　すなわち，「辺の長さの比」が三角比になるのは，直角三角形の場合だけです．このことを忘れると大変なことになります!!!

　上の図で，左側に描いた水色の三角形は「直角三角形」だから，その辺の長さの比は三角比になります．

【例】
図①で， $\sin A=\frac{1}{2}$
図②で， $\cos B=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

　しかし，右側に描いた桃色の三角形は「直角三角形ではない」ので，辺の長さの比がそのままで三角比にはなりません．

【例】
図④で， $\sin A\ne\frac{21}{20}$
図⑤で， $\cos B\ne\frac{6}{5}$

※それなら，例えば図④の $\sin A$ をどうやって求めるのか？
⇒ 次の図のように「直角三角形」を描いて， $\sin A=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$ などとします．

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